Math : 1. 선형(Linear)의 정의

정의

함수 $f$에 대해,

• 임의의 수 $x,y$가 $f(x + y) = f(x) + f(y)$가 항상 성립하고
• 임의의 수 $x,a$가 $f(ax) = af(x)$가 항상 성립할 때

함수 $f$는 선형이라 한다.

예시

1차 함수 $f(x) = mx$는

\[\begin{aligned} f(x + y) &= m(x + y) = mx + my = \ f(x) + f(y) \\ f(ax) &= m \cdot (ax) = ma(x) = \ af(x) \end{aligned}\]

를 만족하므로 원점을 지나는 직선의 방정식은 선형성을 만족한다.

2차 이상의 함수 $f(x) = mx^n(n\ge2)$는

\[\begin{aligned} f(ax) &= m(ax)^n = ma^{n}x^{n} \\ af(x) &= amx^n \end{aligned}\]

$f(ax) \neq af(x)$이므로 2차 이상의 함수는 선형성을 만족하지 못한다.