Math : 14. 평면의 방정식(Plane equation)

평면의 방정식은 평면 위의 한 점 $P’$와 평면에 수직인 벡터 $n$(법선 벡터)로 정의할 수 있다.

먼저, 평면 위의 임의의 점을 $P$라 하면, $P’$에서 $P$로 지나는 벡터 $v$는 다음과 같다.

\[v = P - P' = (x - x \ ', y - y \ ', z - z \ ')\]

법선 벡터 $n$은 평면 위의 모든 벡터와 수직을 이루므로 벡터 $n$과 벡터 $v$의 내적 값은 0이다.

\[n \cdot v = 0\]

위 식을 전개하면 평면의 방정식을 구할 수 있다.

\[\begin{aligned} (a,b,c) \cdot (x - x \ ', y - y \ ', z - z \ ') \ \ \ &= \ \ \ 0 \\ a(x - x \ ') + b(y - y \ ') + c(z - z \ ') \ \ \ &= \ \ \ 0 \\ ax + by + cz -(ax' + by' + cz') \ \ \ &= \ \ \ 0 \\ ax + by + cz + d \ \ \ &= \ \ \ 0 \end{aligned}\]